题目

题型：浙江省月考题难度：来源：

设椭圆 C₁：（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线 C₂：x²=4y的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值。

答案

解：（1）椭圆的顶点为，
，
∴椭圆的标准方程为。
（2）由题可知，直线l与椭圆必相交；
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意；
②设存在直线l为，
由，
，

，
所以，
故直线l的方程为。
（3）设，
由（2）可得：
|MN|=
，
由，
|AB|=，
∴为定值。