题目

题型：同步题难度：来源：

已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系
xOy．
（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；
（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

答案

解：（Ⅰ）由题意可得点A，B，C的坐标分别为．设椭圆的标准方程是．则2a=AC+BC，即，
所以a=2．
所以b²=a²﹣c²=4﹣2=2．
所以椭圆的标准方程是．
（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2．
由得（1+2k²）x²+8kx+4=0．因为M，N在椭圆上，
所以△=64k²﹣16（1+2k²）＞0．
设M，N两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
则，
若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以，x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，所以，，即，得k²=2，
经验证，此时△=48＞0．
所以直线l的方程为，或．即所求直线存在，其方程为．