题目

题型：月考题难度：来源：

已知椭圆的两个焦点分别是，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN中点的横坐标为，求直线l的倾斜角的范围．

答案

解：（1）依题意可知
求得a=3，b=1
∴椭圆的方程为：=1
（2）直线l不与坐标轴平行，
设为y=kx+b（k≠0），M（，），N（x₂，y₂）
联立方程：
则（9+k²）x²+2kbx+b²﹣9=0
△=（2kb）²﹣4（9+k²）（b²﹣9）＞0，k²﹣b²+9＞0
+x₂=﹣，x₂=
MN的中点的横坐标=（+x₂）=﹣
所以+x₂=﹣1
所以9+k²=2kb＞b²
（k﹣b）²=b²﹣9≥0，b²≥9
b≥3或b≤﹣3
b（b﹣2k）＜0
所以b≥3＞0时，b﹣2k＜0，k＞≥
b≤﹣3＜0时，b﹣2k＞0，k＜≤﹣
所以k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
直线l的倾斜角的取值范围为：（arctan，）∪（，﹣arctan）