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题目
题型:不详难度:来源:
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),l交椭圆于A、B两个不同点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,求证k1+k2=0.
答案
(1)设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1





a=2b
4
a2
+
1
b2
=1
解得a2=8,b2=2
∴椭圆方程为
x2
8
+
y2
2
1

(2)∵直线l平行与OM,且在一轴上的截距为m,由kOM=
1
2

∴l的方程为y=
1
2
x+m
由直线方程与椭圆方程联立消去y得x2+2mx+2m2-4=0
∵直线l与椭圆交与A,B两个不同点
∴△=(2m)2-4(2m2-4)>0
解得-2<m<2,且m≠0
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2
由x2+2mx+2m2-4=0可得
x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4
则k1=
y1-1
x1-2
,k2=
y2-1
x 2 -2

而k1+k2=
y1-1
x1-2
+
y2-1
x 2 -2
=
(
1
2
x1+m-1)(x2-2)+(
1
2
x2+m-1)(x1-2) 
(x1-2)(x2-2)
=
2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)
(x1-2)(x2-2)
=0
∴k1+k2=0,
故得证.
核心考点
试题【已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),l交椭圆于A、B两个不同点.(Ⅰ)求】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是(  )
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A.4aB.2(a-c)
C.2(a+c)D.以上答案均有可能
已知点P是椭圆数学公式+数学公式=1(xy≠0)上的动点,F1、F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若M是∠F1PF2的角平分线上的一点,且数学公式数学公式=0,则|OM|的取值范围是(  )
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A.(0,3)B.(2,3)C.(0,4)D.(0,2数学公式
设F1,F2分别是椭圆E:x2+
y2
b2
=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.
(Ⅰ)求|AB|;
(Ⅱ)若直线l的斜率为1,求b的值.魔方格
已知椭圆(a>b>0)的左、右准线分别为l1、l2,且分别交x轴于C、D两点,从l1上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l2交于点B,若AF⊥BF,且∠ABD=75°,则椭圆的离心率等于(  )
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A.B.-1C.D.
设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=


3
2
,已知点P(0
3
2
)到这个椭圆上的点最远距离是


7
.求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于


7
的点的坐标.