题目
题型:北京难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
4 |
3 |
14 |
3 |
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心,交椭圆C于A,B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.
答案
在Rt△PF1F2中,|F1F2|=
|PF2|2-|PF1|2 |
5 |
故椭圆的半焦距c=
5 |
从而b2=a2-c2=4,
所以椭圆C的方程为
x2 |
9 |
y2 |
4 |
(Ⅱ)解法一:
设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).
已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,
所以圆心M的坐标为(-2,1).
从而可设直线l的方程为
y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得
(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.
因为A,B关于点M对称.
所以
x1+x2 |
2 |
18k2+9k |
4+9k2 |
解得k=
8 |
9 |
所以直线l的方程为y=
8 |
9 |
即8x-9y+25=0.
(经检验,所求直线方程符合题意)
(Ⅱ)解法二:
已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,
所以圆心M的坐标为(-2,1).
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
由题意x1≠x2且
x12 |
9 |
y12 |
4 |
x22 |
9 |
y22 |
4 |
由①-②得
(x1-x2)(x1+x2) |
9 |
(y1-y2)(y1+y2) |
4 |
因为A、B关于点M对称,
所以x1+x2=-4,y1+y2=2,
代入③得
y1-y2 |
x1-x2 |
8 |
9 |
即直线l的斜率为
8 |
9 |
所以直线l的方程为y-1=
8 |
9 |
即8x-9y+25=0.
(经检验,所求直线方程符合题意.)
核心考点
试题【椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=43,|PF2|=143.(Ⅰ)求椭圆C的方】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
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3 |
(1)求椭圆的面积;
(2)求△PF1F2的面积.