题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是e=，若点P（0，）到椭圆C上的点的最远距离为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点F₁作直线l交椭圆C于点A，B，且|AB|等于椭圆的短轴长，求直线l的方程。

答案

解：（1）因为
解得a=2b
则椭圆C的方程可化为
设Q（x₀，y₀）是椭圆C上的一点，则有
，
所以

当且a>0即0＜a＜1时，则当时
PQ取最大值
解得
显然不符合题意，应舍去
当，即a≥1时，则当时
PQ取最大值
解得符合题意
所以椭圆C的方程为。
（2）由（1）知
当直线l垂直于x轴时，此时直线l的方程为
把它代入
解得
不妨设
则|AB|=1≠2，显然不满足题意，
当直线l不垂直于x轴时，此时可设直线l的方程为

设
由得
则
所以
解得
综上，直线l的方程为或。