题目

题型：湖南省模拟题难度：来源：

已知椭圆的离心率为，
(1)若原点到直线x+y-b=0的距离为，求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A、B两点，
①当|AB|=时，求b的值；
②对于椭圆上任一点M，若，求实数λ、μ满足的关系式。

答案

解：（1），∴b=2，
∵，∴，
，
∴，
解得，
∴椭圆的方程为。
（2）①，∴，
椭圆的方程可化为：，①
易知右焦点为，据题意有直线AB的方程为：，②
由①，②有：，③
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则，
∴b=1．
②显然与可作为平面向量的一组基底，
由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得成立．
设M(x，y)，，
∴，
又点M在椭圆上，∴，④
由③有：，
则
，⑤
又A，B在椭圆上，故有，⑥
将⑤，⑥代入④可得：。