题目

题型：专项题难度：来源：

已知A是圆x²+y²=4上一点，过点A作x轴的垂线段，H是垂足，动点A₁满足。
（1）求点A₁的轨迹C的方程；
（2）B是圆x²+y²=4上满足条件的点，其中O是坐标原点，过点B也作x轴的垂线段，交轨迹C于点B₁，动点P满足，求点P的轨迹D的方程；
（3）M是轨迹D上一动点，求点M到直线AB的最大距离并求出对应的点M的坐标。

答案

解：（1）设A₁（x，y），A（m，n）
则m²+n²=4（*）
由于，且AH⊥x轴，
所以代入（*），得x²+4y²=4，
即为所求点A₁的轨迹C的方程。
（2）设P（x，y），A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），则
，
从而A（x₁，2y₁），B（x₂，2y₂），
由于，
所以
进而有x₁x₂+4y₁y₂=0 ③
根据可得（x-x₁，y-y₁）+2（x₂-x，y₂-y）=（0，0），
即
由④²+4×⑤²，并结合①②③，
得

=4×4+4-4×0=20
所以动点P的轨迹D的方程为x²+4y²=20。
（3）由于线段AB是圆x²+y²=4的长度为2的定长弦，
所以直线AB始终与圆x²+y²=2相切，
令切点为T，则根据几何意义可知点M到直线AB的距离总是满足d≤|MO|+|OT|=|MO|+

因此点M到直线AB的最大距离是，并且当直线AB的方程是时，点M的坐标是，当直线AB的方程是时，点M的坐标是。