题目

题型：专项题难度：来源：

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点在椭圆C上，抛物线E以椭圆C的中心为顶点，F₂为焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点F₂，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点，
①若F₁B⊥F₂B，求|AF₂|-|BF₂|的值；
②试探究：线段AB与F₂D的长度能否相等？如果|AB|=|F₂D|，求直线l的方程。

答案

解：（1）由题意，设椭圆C的方程为：

∴=4
∴a=2
又c=1
∴
故椭圆C的方程为：。
（2）由题意可得，抛物线E：y²=4x，
设l：y=k（x-1）（k≠0），
联立方程组
消去y得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
Δ=16（k²+1）>0恒成立
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
，x₁·x₂=1
①∵
又，
∴
∴x₁-x₂=4，
|AF₂|-|BF₂|=x₁-x₂=4。
②假设|AB|=|F₂D|
因为直线l过点F₂，
所以
又D（0，-k），F₂（1，0）
∴
由|AB|=|F₂D|
∴
∴k⁴-16k²-16=0，
所以（负值舍去），
从而，
所以当l的方程为时有|AB|=|F₂D|。