题目

题型：河南省模拟题难度：来源：

设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点M的轨迹曲线为C，
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过定点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，且∠EOF=90°（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的值；
（Ⅲ）设A（2，0），B（0，）是曲线C的两个顶点，直线y=mx（m＞0）与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值。

答案

解：（Ⅰ）设曲线C上的任意一点P（x，y），
则有，
化简得；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆的交点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
，
，
，
因为l与椭圆交于不同的两点E，F且∠EOF=90°得
，x₁x₂+y₁y₂=0，
x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，，
解得（满足）。
（Ⅲ）解方程组得
，
即，
S_{四边形AEBF}=2S_△BOE+2S_△FOM=|BO|·x₁+|AO|·y₁

，
因为，
所以（当且仅当时取等号），
即S_{四边形AEBF}的最大面积为（当时取得）。