题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点F重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，|PF|=

5

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若过点A（-1，0）的直线与椭圆C₁相交于M、N两点，求使

FM

+

FN

=

FR

成立的动点R的轨迹方程；
（3）若点R满足条件（2），点T是圆（x-1）²+y²=1上的动点，求|RT|的最大值．

答案

（1）抛物线C₂：y²=4x的焦点F的坐标为（1，0），准线为x=-1，
设点P的坐标为（x₀，y₀），依据抛物线的定义，由|PF|=

5

3

，得1+x₀=

5

3

，解得x₀=

2

3

．
∵点P在抛物线C₂上，且在第一象限，∴y02=4x₀=4×

2

3

，解得y₀=

2 6

3

．
∴点P的坐标为（

2

3

，

2 6

3

）．
∵点P在椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，∴

4

9a2

+

8

3b2

=1．
又c=1，且a²=b²+c²=b²+1，解得a²=4，b²=3．
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、R（x，y），
则

FM

=（x₁-1，y₁），

FN

=（x₂-1，y₂），

FR

=（x-1，y）．
∴

FM

+

FN

=（x₁+x₂-2，y₁+y₂）．
∵

FM

+

FN

=

FR

，
∴x₁+x₂-2=x-1，y₁+y₂=y．①
∵M、N在椭圆C₁上，∴

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1．
上面两式相减，把①式代入得

(x+1)(x1-x2)

4

+

y(y1-y2)

3

=0．
当x₁≠x₂时，得

y1-y2

x1-x2

=-

3(x+1)

4y

．②
设FR的中点为Q，则Q的坐标为（

x+1

2

，

y

2

）．
∵M、N、Q、A四点共线，∴k_MN=k_AQ，即

y1-y2

x1-x2

=

y

x+3

．③
把③式代入②式，得

y

x+3

=-

3(x+1)

4y

，化简得4y²+3（x²+4x+3）=0．
当x₁=x₂时，可得点R的坐标为（-3，0），
经检验，点R（-3，0）在曲线4y²+3（x²+4x+3）=0上．
∴动点R的轨迹方程为4y²+3（x²+4x+3）=0．
（3）4y²+3（x²+4x+3）=0可化为(x+2)2+

y2

3 4

=1，中心为（-2，0），焦点在x轴上，左顶点坐标为（-3，0）
∵圆（x-1）²+y²=1的圆心坐标为（1，0），与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）
∴|RT|的最大值为2-（-3）=5．