题目
题型:北京难度:来源:
(Ⅰ)写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率;
(Ⅱ)设直线y=k1x与椭圆交于C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0),直线y=k2x与椭圆次于G(x3,y3),H(x4,y4)(y4>0).求证:
k1x1x2 |
x1+x2 |
k1x3x4 |
x3+x4 |
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的在C,D,G,H,设CH交x轴于P点,GD交x轴于Q点,求证:|OP|=|OQ|
(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)
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答案
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(Ⅰ)∵椭圆的长轴A1A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心M(0,r),
∴椭圆方程为
x2 |
a2 |
(y-r)2 |
b2 |
焦点坐标为F1(-
a2-b2 |
a2-b2 |
离心率e=
| ||
a |
(Ⅱ)证明:将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程
x2 |
a2 |
(y-r)2 |
b2 |
整理得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
根据韦达定理,得x1+x2=
2k1a2r |
b2+a2k12 |
a2r2-a2b2 |
b2+a2k12 |
所以
x1x2 |
x1+x2 |
r2-b2 |
2k1r |
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程
x2 |
a2 |
(y-r)2 |
b2 |
x3x4 |
x3+x4 |
r2-b2 |
2k2r |
由 ①、②得
k1x1x2 |
x1+x2 |
r2-b2 |
2r |
k2x3x4 |
x3+x4 |
所以结论成立
(Ⅲ)证明:设点P(p,0),点Q(q,0)
由C、P、H共线,得
x1-p |
x4-p |
k1x1 |
k2x4 |
解得 p=
(k1-k2)x1x4 |
k1x1-k2x4 |
由D、Q、G共线,同理可得
x2-p |
x3-p |
k1x2 |
k2x3 |
∴q=
(k1-k2)x2x3 |
k1x2-k2x3 |
由
k1x1x2 |
x1+x2 |
k2x3x4 |
x3+x4 |
(k1-k2)x1x4 |
k1x1-k2x4 |
(k1-k2)x2x3 |
k1x2-k2x3 |
所以|p|=|q|
即|OP|=|OQ|
核心考点
试题【如图,已知椭圆的长轴A1A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心M(0,r)(b>r>0(Ⅰ)写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率;(Ⅱ)设直线y=k1x与椭圆】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
. |
AF1 |
F1F2 |
. |
AF2 |
. |
AF2 |
F1A |
. |
F1F2 |
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)线段OF2上是否存在点M(m,0),使得
. |
OP |
. |
MP |
. |
PQ |
MQ |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
2 |
(I)求椭圆的方程;
(II)若椭圆上存在点P,满足
OM |
ON |
OP |
(III)在(II)的条件下,当λ取何值时,△MNO的面积最大,并求出这个最大值.
1 |
2 |
3 |
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)P(2,3),Q(2.-3)是椭圆C上两个定点,A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点.当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ的斜率是否为定值,说明理由.
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x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
2 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足
OA |
OB |
OP |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(1)求椭圆的标准方程;
(2)以椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的等腰直角三角形是否存在?若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程?若不存在,请说明理由.
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