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题目
题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,F1(-4,0),F2(4,0),P是平面上一点,使三角形PF1F2的周长为18.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)在P点的轨迹上是否存在点P1、P2,使得顺次连接点F1、P1、F2、P2所得到的四边形F1P1F2P2是矩形?若存在,请求出点P1、P2的坐标;若不存在,请简要说明理由.
答案
(1)依题意,|PF1|+|PF2|+|F1F2|=18,∴|F1F2|=8,
∴|PF1|+|PF2|=10,点P的轨迹是椭圆,且2a=10,2c=8,
∴a=5,c=4,b=


52-42
=3,椭圆的方程为
x2
25
+
y2
9
=1

∵PF1F2是三角形,点P不在直线F1F2上(即不在x轴上),
∴点P的轨迹方程为
x2
25
+
y2
9
=1
(y≠0).
(2)根据椭圆的对称性,F1P1F2P2是矩形当且仅当直线P1P2经过原点O,且∠F1P1F2是直角,此时|OP1|=
1
2
|F1F2|=4
(或kP1F1kP1F2=-1),
设P1(x,y),则





x2
25
+
y2
9
=1
x2+y2=16
,解得





x2=
175
16
y2=
81
16





x=±
5


7
4
y=±
9
4

∴有2个这样的矩形F1P1F2P2,对应的点P1、P2分别为(
5


7
4
9
4
)
(-
5


7
4
,-
9
4
)
(-
5


7
4
9
4
)
(
5


7
4
,-
9
4
)
核心考点
试题【在平面直角坐标系xOy中,F1(-4,0),F2(4,0),P是平面上一点,使三角形PF1F2的周长为18.(1)求点P的轨迹方程;(2)在P点的轨迹上是否存在】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,焦距为4,离心率为
2
3

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M,又点A和B在椭圆上,且M分有向线段
.
AB
所成的比为2,求线段AB所在直线的方程.
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0,y>0)
的离心率为


3
2
,A、B为它的左、右焦点,过一定点N(1,0)任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q,且|


PA
+


PB
|的最小值为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线NP、NQ,使得向量


PA
+


PB


QA
+


QB
互相垂直?若存在,求出点P、Q的横坐标,若不存在,请说明理由.
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为


3
2
,过顶点A(0,1)的直线L与椭圆C相交于两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点M在椭圆上且满足


OM
=
1
2


OA
+


3
2


OB
,求直线L的斜率k的值.
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已知抛物线的顶点为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的中心.椭圆的离心率是抛物线离心率的一半,且它们的准线互相平行.又抛物线与椭圆交于点M(
2
3
,-
2


6
3
)
,求抛物线与椭圆的方程.
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已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上且过点P(


3
1
2
)
,离心率是


3
2

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l过点E(-1,0)且与椭圆C交于A,B两点,若|EA|=2|EB|,求直线l的方程.
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