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题目
题型:昌平区一模难度:来源:
已知椭圆C的中心在原点,左焦点为(-


3
,0)
,离心率为


3
2
.设直线l与椭圆C有且只有一个公共点P,记点P在第一象限时直线l与x轴、y轴的交点分别为A、B,且向量


OM
=


OA
+


OB

求:
(I)椭圆C的方程;
(II)|


OM
|
的最小值及此时直线l的方程.
答案
(Ⅰ)由题意,∵左焦点为(-


3
,0)
,离心率为


3
2

c=


3
e=
c
a
=


3
2

∴a=2,于是b2=1,由于焦点在x轴上,故椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1
…(5分)
(Ⅱ)设直线l的方程为:y=kx+m(k<0),A(-
m
k
,0),B(0,m)






y=kx+m
x2
4
+y2=1
消去y得:(
1
4
+k2)x2+2kmx+m2-1=0
…(7分)
∵直线l与曲线C有且只有一个公共点,∴△=4k2m2-(1+4k2)(m2-1)=0
即m2=4k2+1①…(9分)


OM
=


OA
+


OB

|


OM
|=


m2
k2
+m2
②…(11分)
将①式代入②得:|


OM
|=


1
k2
+4k2+5


2


1
k2
•4k2
+5
=3

当且仅当k=-


2
2
时,等号成立,故|


OM
|min=3

此时直线方程为:


2
x+2y-2


3
=0
.…(14分)
核心考点
试题【已知椭圆C的中心在原点,左焦点为(-3,0),离心率为32.设直线l与椭圆C有且只有一个公共点P,记点P在第一象限时直线l与x轴、y轴的交点分别为A、B,且向量】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点,离心率为


2
2
,左焦点为F(-1,0)的椭圆C上,已知


PF


FQ
共线,


MF


FN
共线,


PF


MF
=0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)试用直线PQ的斜率k(k≠0)表示四边形PMQN的面积S,求S的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知点M在椭圆D:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点,若圆M与y轴相交于A,B两点,且△ABM是边长为
2


6
3
的正三角形.
(Ⅰ)求椭圆D的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆D上的一点,过点P的直线l交x轴于点F(-1,0),交y轴于点Q,若


QP
=2


PF
,求直线l的斜率;
(Ⅲ)过点G(0,-2)作直线GK与椭圆N:
3x2
a2
+
4y2
b2
=1
左半部分交于H,K两点,又过椭圆N的右焦点F1做平行于HK的直线交椭圆N于R,S两点,试判断满足|GH|•|GK|=3|RF1|•|F1S|的直线GK是否存在?请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)以双曲线
x2
3
-y2=1
的焦点为顶点,其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A,B,点M是椭圆C上异于A,B的任意一点.
①求证:直线MA,MB的斜率之积为定值;
②若直线MA,MB与直线x=4分别交于点P,Q,求线段PQ长度的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知直线l:y=x+


6
,圆O:x2+y2=5,椭圆E:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=


3
3
,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值.
题型:菏泽一模难度:| 查看答案
椭圆的两焦点坐标分别为F1(-


3
,0)
F2(


3
,0)
,且椭圆过点(1,-


3
2
)

(1)求椭圆方程;
(2)过点(-
6
5
,0)
作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点,A为椭圆的左顶点,试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由.
题型:自贡三模难度:| 查看答案
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