一束光线从点F1(-1,0)出发,经直线l:2x-y+3=0上一点D反射后,恰好穿过点F2(1,0), (1)求以F1、F2为焦点且过点D的椭圆C的方程; (2)从椭圆C上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线,切点分别为A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q.求|PQ|的最小值. |
(1)设点F1关于直线l:2x-y+3=0的对称点A(m,n), 则, 解得, 则A(-,) ∵|PF1|=|PA|,根据椭圆的定义,得2a=|PF1|+|PF2|=|AF2|==2, ∴a=,c=1,b==1. ∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则+=1,切线AM、BM方程分别为x1x+y1y=1,x2x+y2y=1, ∵切线AM、BM都经过点M(x0,y0), ∴x1x0+y1y0=1,x2x0+y2y0=1. ∴直线AB方程为x0x+y0y=1, ∴P(0,)、Q(,0), |PQ|2=+=(+)(+)=+1++≥+=()2, 当且仅当=时,上式等号成立. ∴|PQ|的最小值为. |
核心考点
试题【一束光线从点F1(-1,0)出发,经直线l:2x-y+3=0上一点D反射后,恰好穿过点F2(1,0),(1)求以F1、F2为焦点且过点D的椭圆C的方程;(2)从】;主要考察你对
椭圆等知识点的理解。
[详细]
举一反三
若椭圆+=1(m,n>0)的离心率为,一个焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点,则椭圆的标准方程为______. |
已知椭圆的两个焦点F1(0,1)、F2(0,1)、直线y=4是它的一条准线,A1、A2分别是椭圆的上、下两个顶点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设以原点为顶点,A1点的抛物线为C,若过点F1的直线l与C交于不同的两点M、N,求线段MN的中点Q的轨迹方程. |
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,离心率e=,椭圆C上的点到F的距离的最大值为+1,直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A、B. (1)求椭圆C的方程; (2)若|AB|=,求直线l的方程. |
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C的方程; (2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. |
已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( ) |