当前位置:高中试题 > 数学试题 > 椭圆 > 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△OMF是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存...
题目
题型:牡丹江一模难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦点为F(1,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△OMF是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线l交椭圆于P,Q两点,且使点F为△PQM的垂心(垂心:三角形三边高线的交点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)由△OMF是等腰直角三角形,得b=1,a=


2
b=


2

故椭圆方程为
x2
2
+y2=1
.                        …(5分)
(Ⅱ)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且使点F为△PQM的垂心,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
因为M(0,1),F(1,0),所以kPQ=1.                     …(7分)
于是设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程,消元可得3x2+4mx+2m2-2=0.
由△>0,得m2<3,且x1+x2=-
4m
3
,x1x2=
2m2-2
3
.    …(9分)
由题意应有


MP


FQ
=0
,所以x1(x2-1)+y2(y1-1)=0,
所以2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0.
整理得2×
2m2-2
3
-
4m
3
(m-1)+m2-m=0.
解得m=-
4
3
或m=1.                               …(12分)
经检验,当m=1时,△PQM不存在,故舍去.
当m=-
4
3
时,所求直线l存在,且直线l的方程为y=x-
4
3
.…(13分)
核心考点
试题【已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△OMF是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知双曲线x2-
y2
3
=1

(1)求此双曲线的渐近线方程;
(2)若过点(2,3)的椭圆与此双曲线有相同的焦点,求椭圆的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e=


2
2
,且过点(0,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果直线x=t(t∈R)与椭圆相交于A、B,若E(-


2
,0)
D(


2
,0)
,求证:直线EA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上;
(3)若直线l经过椭圆C的左焦点交椭圆C于P、Q两点,O为坐标原点,且


OP


OQ
=-
1
3
,求直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
设F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,若椭圆C上的点A(1,


3
2
)到F1,F2两点的距离之和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)过点P(1,
1
4
)的直线与椭圆交于两点D、E,若DP=PE,求直线DE的方程;
(3)过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M、N,若△OMN面积取得最大,求直线MN的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
圆锥曲线C的离心率为e,且经过点M(3,0),求e分别取
2


2
3


2
时曲线C的标准方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e=


3
2
,原点到过点A(a,0),B(0,b)的直线的距离是
4


5
5

(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求x12+y12的取值范围.
(3)如果直线y=kx+1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E,F,且E,F都在以B为圆心的圆上,求k的值.
题型:东城区二模难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.