题目
题型:滨州一模难度:来源:
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(I)求椭圆C的方程;
(II)设直线x=my+1与椭圆C交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点S,试问:当m变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
答案
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∵a=2,e=
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2 |
3 |
∴椭圆C的方程为
x2 |
4 |
(II)取m=0,得P(1,
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2 |
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2 |
直线A1P的方程是y=
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6 |
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3 |
直线A1P的方程是y=
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6 |
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3 |
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2 |
3 |
3 |
若P(1,-
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2 |
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3 |
若点S在同一条直线上,由直线只能为l:x=4.
以下证明对于任意的m,直线A1P与A2Q的交点S均在直线l:x=4上,
事实上,由
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得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0,
记P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=
-2m |
m2+4 |
-3 |
m2+4 |
记A1P与l交于点S0(4,y0),
由
y0 |
4+2 |
y1 |
x1+2 |
6y1 |
x1+2 |
设A2Q与l交于点S‘0(4,y′0),
由
y′0 |
4-2 |
y2 |
x2-2 |
2y2 |
x2-2 |
∵y0-y′0=
6y1 |
x1+2 |
2y2 |
x2-2 |
=
6y1(my2-1)-2y2 (my1+3) |
(x1+2)(x2-2) |
=
4my1y2-6(y1+y2) |
(x1+2)(x2-2) |
=
| ||||
(x1+2)(x2-2) |
∴y0=y′0,即S0与S‘0重合,
这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上.
核心考点
试题【已知椭圆C的离心率e=32,长轴的左右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0).(I)求椭圆C的方程;(II)设直线x=my+1与椭圆C交于P,Q两点,直线A】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点B(0,-2)的直线l(斜率不等于零)与椭圆交于不同的两点E,F(E在B,F之间),△OBE与△OBF面积之比为λ,求λ的取值范围.
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(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线l与椭圆相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,试探究点O到直线l的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
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