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题目
题型:不详难度:来源:
已知:以点C(t,
2
t
)(t∈R,t≠0)
为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O、B,其中O为原点,
(1)求证:△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.
答案
(1)∵圆C过原点O,
OC2=t2+
4
t2

设圆C的方程是(x-t)2+(y-
2
t
)2=t2+
4
t2

令x=0,得y1=0,y2=
4
t

令y=0,得x1=0,x2=2t
S△OAB=
1
2
OA×OB=
1
2
×|
4
t
|×|2t|=4

即:△OAB的面积为定值;
(2)∵OM=ON,CM=CN,
∴OC垂直平分线段MN,
∵kMN=-2,∴koc=
1
2

∴直线OC的方程是y=
1
2
x

2
t
=
1
2
t
,解得:t=2或t=-2,
当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=


5

此时C到直线y=-2x+4的距离d=
1


5


5

圆C与直线y=-2x+4相交于两点,
当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=


5

此时C到直线y=-2x+4的距离d=
9


5


5

圆C与直线y=-2x+4不相交,
∴t=-2不符合题意舍去,
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
核心考点
试题【已知:以点C(t,2t)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O、B,其中O为原点,(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2】;主要考察你对直线与圆的位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
设实数x,y满足x2+(y-1)2=1,则x+y+d≥0恒成立,则d∈(  )
A.[


2
-1,+∞)
B.(-∞,


2
-1]
C.[


2
+1,+∞)
D.(-∞,


2
+1]
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直线y=kx+1和圆x2+y2=4的位置关系是(  )
A.相切B.相交
C.相离D.直线经过圆的圆心
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在平面直角坐标系xOy中,已知以O为圆心的圆与直线l:y=mx+(3-4m),(m∈R)恒有公共点,且要求使圆O的面积最小.
(1)写出圆O的方程;
(2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内动点P使|


PA
|
|


PO
|
|


PB
|
成等比数列,求


PA


PB
的范围;
(3)已知定点Q(-4,3),直线l与圆O交于M、N两点,试判断


QM


QN
×tan∠MQN
是否有最大值,若存在求出最大值,并求出此时直线l的方程,若不存在,给出理由.
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如图,PAB、PC分别是圆O的割线和切线(C为切点),若PA=AB=3,则PC的长为(  )
A.6


2
B.6C.3


2
D.3

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直线y=kx+2与圆x2+y2+2x=0只在第二象限有公共点,则实数k的取值范围为(  )
A.[
3
4
,1]
B.[
3
4
,1)
C.[
3
4
,+∞)
D.(-∞,1)
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