题目

题型：重庆市高考真题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=1，∠ABC=90°；点D、E分别在BB₁、A₁D上，且B₁E⊥A₁D，四棱锥C-ABDA₁与直三棱柱的体积之比为3：5，
（1）求异面直线DE与B₁C₁的距离；
（2）若BC=，求二面角A₁-DC₁-B₁的平面角的正切值。

答案

解：（Ⅰ）因，
故，
从而，
又，
故B₁E是异面直线B₁C₁与DE的公垂线，
设BD的长度为x，则四棱椎的体积V₁为
，
而直三棱柱的体积V₂为
，
由已知条件，
故，
从而，在直角三角形中，
，
又因，
故。 （Ⅱ）如右图，过B₁作，垂足为F，连接A₁F，
因，
故，
由三垂线定理知，
故为所求二面角的平面角，
在直角中，
，
又因，
故，
所以。