题目

题型：北京市期末题难度：来源：

如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=1，点M，N分别是PD，PB的中点．
（I）求证：PB∥平面ACM；
（II）求证：MN⊥平面PAC；
（III）若 ，求平面FMN与平面ABCD所成二面角的余弦值．

答案

（I）证明：连接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O
∵点O，M分别是PD，BD的中点
∴MO∥PB，PB平面ACM
∴PB∥平面ACM．
（II）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD
∴PA⊥BD
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC
在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，
∴MN∥BD ∴MN⊥平面PAC．
（III）解：PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，
故以A为原点，建立空间直角坐标系
由 可得 
设平面MNF的法向量为  =（x，y，z）
∵
∴ ，解得： 
令x=1，可得 =（1，1，5）
∵平面ABCD的法向量为 
∴