题目

题型：河南省期末题难度：来源：

如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，侧面A₁ADD₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D= ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2， O为AD中点．
（Ⅰ）求证：A₁O∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求锐二面角A﹣C₁D₁﹣C的余弦值．  

答案

解：（Ⅰ）证明：如图（1），连接CO、A₁O、AC、AB₁，
则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A₁B₁，
所以，四边形A₁B₁CO为平行四边形，
所以A₁O∥B₁C，
又A₁O平面AB₁C，B₁C平面AB₁C
所以A₁O∥平面AB₁C
（Ⅱ）因为D₁A=D₁D，O为AD中点，所以D₁O⊥AD
又侧面A₁ADD₁⊥底面ABCD，所以D₁O⊥底面ABCD，
以O为原点，OC、OD、OD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，
则C（1，0，0），D（0，1，0），D₁（0，0，1），A（0，﹣1，0）．所以
 ，
设 为平面C₁CDD₁的一个法向量，
由 ，得 ，
令z=1，则y=1，x=1，∴ ．
又设 为平面AC₁D₁的一个法向量，
由 ，得 ，
令z₁=1，则y₁=﹣1，x₁=﹣1，∴ ，
则 ，
故所求锐二面角A﹣C₁D₁﹣C的余弦值为