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题目
题型:不详难度:来源:
已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′,四边形ABCD为正方形,AA′=2AB=2,E为棱CC′的中点.
(Ⅰ)求证:A′E⊥平面BDE;
(Ⅱ)设F为AD中点,G为棱BB′上一点,且BG=
1
4
BB′
,求证:FG平面BDE;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下求二面角G-DE-B的余弦值.
答案
证明:(Ⅰ)∵四棱柱为直四棱柱,
∴BD⊥AC,BD⊥AA′,AC∩AA′=A,
∴BD⊥面ACEA′.
∵A′E⊂面ACEA′,∴BD⊥A′E.
A′B=


22+12
=


5
BE=


12+12
=


2
A′E=


12+12+12
=


3
,∴A′B2=BE2+A′E2.∴A′E⊥BE.
又∵BD∩BE=B,∴A′E⊥面BDE.(4分)

(Ⅱ)以D为原点,DA为x 轴,DC为y 轴,DD′为z轴,建立空间直角坐标系.
∴A′(1,0,2),E(0,1,1),F(
1
2
,0,0)
G(1,1,
1
2
)

∵由(Ⅰ)知:


A′E
=(-1,1,-1)
为面BDE的法向量,


FG
=(
1
2
,1,
1
2
)
,(6分)


FG


A′E
=-1×
1
2
+1×1+(-1)×
1
2
=0
.∴


FG


A′E

又∵FG⊄面BDE,∴FG面BDE.(8分)
(Ⅲ)设二面角G-DE-B的大小为θ,
平面DEG 的法向量为


n
=(x,y,z)
,则


DE
=(0,1,1)


DG
=(1,1,
1
2
)



n


DE
=0×x+1×y+1×z=0
,即y+z=0,


n


DG
=1×x+1×y+
1
2
×z=0
,即x+y+
z
2
=0

令x=1,解得:y=-2,z=2,∴


n
=(1,-2,2)
.(12分)
cosθ=


n


A′E
|


n
|•|


A′E
|
=
(-1)×1+1×(-2)+(-1)×2
3•


3
=-
5


3
9

∴二面角G-DE-B的余弦值为
5


3
9
.(14分)
核心考点
试题【已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′,四边形ABCD为正方形,AA′=2AB=2,E为棱CC′的中点.(Ⅰ)求证:A′E⊥平面BDE;(Ⅱ)设F为AD中点,G】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,E为棱CC1的中点,已知AB=


2
,BB1=2,BC=1.
(1)证明:BE是异面直线AB与EB1的公垂线;
(2)求二面角A-EB1-A1的大小;
(3)求点A1到面AEB1的距离.
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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=BC=2,且M是BC的中点,点N在CC1上.
(1)试确定点N的位置,使AB1⊥MN;
(2)当AB1⊥MN时,求二面角M-AB1-N的大小.
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如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=1,点P在平面BCC1B1内,PB1=PC1=


2

(1)求证:PA1⊥BC;
(2)求二面角C1-PA1-A.
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一个四棱锥P一ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线,侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形,直角边长为2,直观图如图.
(1)求四棱锥P一ABCD的体积:
(2)求二面角C-PB-A大小;
(3)M为棱PB上的点,当PM长为何值时,CM⊥PA?
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已知二面角α-AB-β为120°,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=BD=a,则CD的长为______.
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