题目
题型:不详难度:来源:
如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为正三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示),E为VB的中点.
(1)求证:VD∥平面EAC;
(2)求二面角A—VB—D的余弦值.
答案
解析
试题分析:(1)由正视图可得:平面VAB⊥平面ABCD,连接BD交AC于O 点,连EO,由已知可得BO=OD,
VE=EB
∴ VD∥EO
又VD平面EAC,EO平面EAC
∴ VD∥平面EAC
(2)设AB的中点为P,则由题意可知VP⊥平面ABCD,
建立如图所示坐标系
设=(x,y,z)是平面VBD法向量,
=(-2,2,0)
由,
∴
∴
∴二面角A—VB—D的余弦值
点评:综合法求二面角,往往需要作出平面角,这是几何中一大难点,而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单运算即可,从而体现了空间向量的巨大作用.二面角的向量求法: ①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角; ②设分别是二面角的两个面α,β的法向量,则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。
核心考点
试题【(本小题满分14分)如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为正三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示),E为VB的中点.(1)求证:VD∥平面EAC;(】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:AE∥平面FCB;
(Ⅲ)求二面角的余弦值。
(1)若l垂直于α内两条相交直线,则l⊥α;
(2)若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;
(3)若mα,lβ,且l⊥m,则α⊥β;
(4)若lβ,且l⊥α,则α⊥β;
(5)若mα,lβ,且α∥β,则l∥m.
其中正确的命题的序号是________.
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