题目

题型：不详难度：来源：

如图，在四棱锥中，⊥底面，四边形是直角梯形，⊥，∥，.

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求.

答案

（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）

解析

试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直得到线线垂直，利用线线垂直得到线面垂直，然后得到面面垂直；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，得到相应点的坐标，计算平面的法向量，通过二面角的大小计算得到的值.

试题解析：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BCÌ平面ABCD，
∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，
∵BCÌ平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB．5分
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴、AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz．
则B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(1，1，0)．
设P(0，0，a)（a＞0），
则＝(0，1，0)，＝(2，1，－a)，
＝(1，0，0)             8分
设n₁＝(x₁，y₁，z₁)为面BPC的一个法向量，
则n₁·＝n₁·＝0，
即
取x₁＝a，y₁＝0，z₁＝2，得n₁＝(a，0，2)．
同理，n₂＝(0，a，1)为面DPC的一个法向量．               10分
依题意，|cosán₁，n₂ñ|＝＝＝，
解得a²＝2，或a²＝－7（舍去），所以＝．            12分