题目
题型:北京难度:来源:
π |
6 |
(I)求证:平面COD⊥平面AOB;
(II)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小;
(III)求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小.
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答案
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(I)由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角,
又∵二面角B-AO-C是直二面角,
∴CO⊥BO,
又∵AO∩BO=O,
∴CO⊥平面AOB,
又CO⊂平面COD,
∴平面COD⊥平面AOB.(4分)
(II)解法一:作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),则DE∥AO,
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.
在 Rt△COE中,CO=BO=2,OE=
1 |
2 |
∴CE=
CO2+OE2 |
5 |
又DE=
1 |
2 |
3 |
∴CD=
CE2+DE2 |
2 |
∴在Rt△CDE中,cos∠CDE=
DE |
CD |
| ||
2
|
| ||
4 |
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为
| ||
4 |
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解法二:建立空间直角坐标系O-xyz,如图,
则O(0,0,0),A(0,0,2
3 |
3 |
∴
OA |
3 |
CD |
3 |
∴cos<
OA |
CD |
| ||||
|
|
6 | ||||
2
|
| ||
4 |
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值为
| ||
4 |
(III)由(I)知,CO⊥平面AOB,
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角,
且tanCDO=
OC |
OD |
2 |
OD |
OA•OB |
AB |
3 |
2
| ||
3 |
∴CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为
2
| ||
3 |
核心考点
试题【如图,在Rt△AOB中,∠OAB=π6,斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角.动点D在斜边AB上】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
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A.
| B.
| C.
| D.
|
2 |
(I)求证:AO⊥平面BCD;
(II)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(III)求点E到平面ACD的距离.
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(Ⅰ)求异面直线DE与FC1所成的角的余弦值;
(II)求BC1和面EFBD所成的角;
( III)求B1到面EFBD的距离.
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