题目

题型：0128 模拟题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，2AC=AA₁=BC=2。
（1）若D为AA₁中点，求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（2）若二面角B₁-DC-C₁的大小为60°，求AD的长。

答案

解：（1）∵
∴
又由直三棱柱性质知，平面ACC₁A₁
∴ ①
由D为中点可知，
∴
即 ②
由①②可知CD⊥平面B₁C₁D，
又平面B₁CD，
故平面平面B₁C₁D。（2）由（1）可知平面ACC₁A₁，
如图，在面ACC₁A₁内过C₁作，交CD或延长线于E，连EB₁，
由三垂线定理可知为二面角B₁-DC-C₁的平面角，
∴
由B₁C₁=2知
设AD=x，则
∵△的面积为1
∴
解得
即。