题目

题型：辽宁省高考真题难度：来源：

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′，
（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；
（Ⅲ）若b=，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值。

答案

（Ⅰ）证明：在正方体中，，
又由已知可得，
所以，
所以PH⊥平面PQEF，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
，是定值．（Ⅲ）解：设AD′交PF于点N，连结EN，
因为AD′⊥平面PQEF，
所以∠D′EN为D′E与平面PQEF所成的角，
因为，
所以P，Q，E，F分别为 AA′，BB′，BC，AD的中点，
可知，
所以。