题目

题型：江西省高考真题难度：来源：

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交DAPD于点M，交PC于点N。
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；
（3）求点N到平面ACM的距离。

答案

解：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。
又因为PA⊥平面ABCD，
则PA⊥CD，
又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
则CD⊥AM，
所以AM⊥平面PCD
所以平面ABM⊥平面PCD。
（2）由（1）知，，
又，
则M是PD的中点可得，
则
设D到平面ACM的距离为h，
由，即，
可求得，
设所求角为θ，则，
。
（3）可求得PC=6
因为AN⊥NC，
由，得PN。
所以。
故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。
又因为M是PD的中点，
则P、D到平面ACM的距离相等，
由（2）可知所求距离为。