题目

题型：湖北省高考真题难度：来源：

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA₁上，点F在侧棱BB₁上，且AE=，BF=。
（1）求证：CF⊥C₁E；
（2）求二面角E-CF-C₁的大小。

答案

解：（1）由已知可得


于是有
所以C₁E⊥EF，C₁E⊥CE
又EF∩CE=E，
所以C₁E⊥平面CEF
由CF平面CEF，故CF⊥C₁E。
（2）在△CEF中，由（1）可得

于是有EF²+CF²=CE²，
所以CF⊥EF
又由（1）知CF⊥C₁E，且EF∩C₁E=E，
所以CF⊥平面C₁EF
又C₁F平面C₁EF，故CF⊥C₁F
于是∠EFC₁即为二面角E-CF-C₁的平面角
由（1）知△C₁EF是等腰直角三角形，
所以∠EFC₁=45°，
即所求二面角E-CF-C₁的大小为45°。