题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点。
（1）证明：AE⊥PD；
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值。

答案

解：（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形
因为E为BC的中点，
所以AE⊥BC
又BC∥AD，因此AE⊥AD
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，
所以PA⊥AE
而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD
又PD平面PAD，
所以AE⊥PD。（2）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH
由（1）知AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角
在Rt△EAH中，AE=，
所以当AH最短时，∠EHA最大，
即当AH⊥PD时，∠EHA最大
此时tan∠EHA=，
因此AH=
又AD=2，
所以∠ADH=45°，
所以PA=2
因为PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=，
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=
又
在Rt△ESO中，cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为。