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题目
题型:山东省高考真题难度:来源:
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点。
(1)证明:AE⊥PD;
(2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,求二面角E-AF-C的余弦值。
答案
解:(1)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形
因为E为BC的中点,
所以AE⊥BC
又BC∥AD,因此AE⊥AD
因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,
所以PA⊥AE
而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A,
所以AE⊥平面PAD
又PD平面PAD,
所以AE⊥PD。(2)设AB=2,H为PD上任意一点,连接AH,EH
由(1)知AE⊥平面PAD,
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角
在Rt△EAH中,AE=
所以当AH最短时,∠EHA最大,
即当AH⊥PD时,∠EHA最大
此时tan∠EHA=
因此AH=
又AD=2,
所以∠ADH=45°,
所以PA=2
因为PA⊥平面ABCD,PA平面PAC,
所以平面PAC⊥平面ABCD
过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC,
过O作OS⊥AF于S,连接ES,则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角,
在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=,AO=AE·cos30°=
又F是PC的中点,在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=

在Rt△ESO中,cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为
核心考点
试题【如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点。(1)证明:AE⊥PD;(2)若H为PD上】;主要考察你对线面垂直等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1
(Ⅰ)求证:AB⊥BC;
(Ⅱ)若AA1=AC=a,直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为ψ,求证θ+ψ=
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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥侧面A1ABB1
(1)求证:AB⊥BC;
(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ,试判断θ与φ的大小关系,并予以证明。
题型:湖北省高考真题难度:| 查看答案
如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°,
(Ⅰ)求证:EF⊥平面BCE;
(Ⅱ)设线段CD、AE的中点分别为P、M,求证:PM∥平面BCE;
(Ⅲ)求二面角F-BD-A的大小。
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如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=AA1=,∠ABC=60°。
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)求二面角A-A1C-B的大小。
题型:陕西省高考真题难度:| 查看答案
如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°,
(Ⅰ)求证:EF⊥平面BCE;
(Ⅱ)设线段CD的中点分别为P,在直线AE上是否存在一点M,使得PM∥平面BCE?若存在,请指出点M的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求二面角F-BD-A的大小。
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