题目

题型：不详难度：来源：

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）求证：AC⊥BD₁
（2）求异面直线AC与BC₁所成角的大小．

答案

（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥DD₁，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，DD₁∩BD=D，
∴AC⊥平面BDD₁，
∵BD₁⊂平面BDD₁，∴AC⊥BD₁；
（2）连结AD₁、CD₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB

∥

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C₁D₁，
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形，得BC₁∥AD₁，
由此可得∠D₁AC（或补角）就是异面直线AC与BC₁所成角．
∵△AD₁C是等边三角形，
∴∠D₁AC=60°，即异面直线AC与BC₁所成角的大小为60°．