题目

题型：湖北省高考真题难度：来源：

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC上，且不与点C重合， (1)当CF=1时，求证：EF⊥A₁C；
(2)设二面角C-AF-E的大小为θ，求tanθ的最小值．

答案

解：过E作EN⊥AC于N，连结EF，
(1)如图1，连结NF、AC₁，
由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A₁C，
又底面ABC∩侧面A₁C=AC，EN底面ABC，
所以EN⊥侧面A₁C，NF为EF在侧面A₁C内的射影，
在Rt△CNE中，CN=CEcos60°=1，
则由，得NF∥AC₁，
又AC₁⊥A₁C，
故NF⊥A₁C，
由三垂线定理知EF⊥A₁C。 (2)如图2，连结AF，过N作NM⊥AF于M，连结ME，
由(1)知EN⊥侧面A₁C，
根据三垂线定理得EM⊥AF，
所以∠EMN是二面角C-AF-E的平面角，即∠EMN=θ，
设∠FAC=α，则0°＜α≤45°，
在Rt△CNE中，NE=EC·sin60°=，
在Rt△AMN中，MN=AN·sinα-3sinα，
故，
又0°＜α≤45°，
∴，
故当，
即当α=45°时，tanθ达到最小值，
，此时F与C₁重合．