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题目
题型:不详难度:来源:
正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,BB1的中点.
(1)求证:平面A1BC1平面ACD1
(2)求异面直线A1F与D1E所成的角的余弦值.
答案
证明:(1)如图,
连结AC,AD1,CD1,A1C1,A1B,C1B.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴AA1CC1,AA1=CC1
∴四边形AA1C1C为平行四边形,∴A1C1AC.
A1C1⊄平面ACD1,AC⊂平面ACD1,∴A1C1平面ACD1
∵A1D1BC,A1D1=BC,∴四边形A1BCD1为平行四边形,∴A1BCD1
A1B⊄平面ACD1,CD1⊂平面ACD1,∴A1B⊄平面ACD1
又A1B∩A1C1=A1
∴平面A1BC1平面ACD1
(2)连结C1F,∵E,F分别是棱AA1,BB1的中点,∴EFC1D1,EF=C1D1
∴EFC1D1是平行四边形,∴D1FC1E.
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,解直角三角形求得A1C1=2


2
A1F=C1F=


5

在△A1C1F中,由余弦定理得cos∠A1FC1=
A1F2+C1F2-A1C12
2A1F•C1F
=
(


5
)2+(


5
)2-(2


2
)2


5
×


5
=
1
5

∴异面直线A1F与D1E所成的角的余弦值是
1
5

核心考点
试题【正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,BB1的中点.(1)求证:平面A1BC1∥平面ACD1;(2)求异面直线A1F与D1E所成的角的余弦值】;主要考察你对面面平行等知识点的理解。[详细]
举一反三
设平面α平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=______.
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平面α与平面β平行的条件可以是(  )
A.平面α内有无穷多条直线与β平行
B.直线lα,且lβ
C.直线l⊂α,m⊂β,且lβ,mα
D.平面α内的任何直线都平行于β
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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1
(1)求异面直线A1B与B1C所成的角;
(2)求证:平面A1BD平面B1CD1
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正三棱柱ABC-A1B1C1中,M、N分别为A1B1、AB的中点.
①求证:平面A1NC平面BMC1
②若AB=AA1,求BM与AC所成角的余弦值.
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(文科做)已知平面α面β,AB、CD为异面线段,AB⊂α,CD⊂β,且AB=a,CD=b,AB与CD所成的角为θ,平面γ面α,且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q.
(1)若a=b,求截面四边形MNPQ的周长;
(2)求截面四边形MNPQ面积的最大值.
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