如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1（1）求异面直线A1B与B1C所成的角；（2）求证：平面A1BD∥平面B1CD1． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1
（1）求异面直线A₁B与B₁C所成的角；
（2）求证：平面A₁BD∥平面B₁CD₁．

答案

（1）连接A₁D、DB．由正方体可得A1B1

∥

DC，∴对角面A₁B₁CD是一个平行四边形，∴B₁C∥A₁D．
∴∠BA₁D或其补角即为异面直线A₁B与B₁C所成的角，
∵△A₁BD是一个等边三角形，
∴∠BA₁D=60°即为异面直线A₁B与B₁C所成的角；
（2）证明：由（1）可知：A₁D∥B₁C，而A₁D⊄平面B₁CD₁，B₁C⊂平面B₁CD₁，
∴A₁D∥平面B₁CD₁，
同理可得A₁B∥平面B₁CD₁，
又∵A₁D∩A₁B=A₁，
∴平面A₁BD∥平面B₁CD₁．

核心考点

试题【如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1（1）求异面直线A1B与B1C所成的角；（2）求证：平面A1BD∥平面B1CD1．】；主要考察你对面面平行等知识点的理解。[详细]

举一反三

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分别为A₁B₁、AB的中点．
①求证：平面A₁NC∥平面BMC₁；
②若AB=AA₁，求BM与AC所成角的余弦值．

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（文科做）已知平面α∥面β，AB、CD为异面线段，AB⊂α，CD⊂β，且AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为θ，平面γ∥面α，且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q．
（1）若a=b，求截面四边形MNPQ的周长；
（2）求截面四边形MNPQ面积的最大值．

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（文科）如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，E，F分别是棱A₁B₁，A₁D₁，B₁C₁，C₁D₁的中点，
求证：平面AMN∥平面EFDB．

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P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
（1）求证：平面A′B′C′∥平面ABC；
（2）求S△A′B′C′：S△ABC．

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四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，底面四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，E为PC中点，F是线段DE上任意一点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若点M为AB的中点，N为DC的中点，求证：平面EMN∥平面PAD；
（3）设P，A，F三点确定的平面为a，平面a与平面DEB的交线为l，试判断直线PA与l的位置关系，并证明之．

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