题目
题型:福建省模拟题难度:来源:
(Ⅰ)求证:OD∥平面ABC;
(Ⅱ)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值;
(Ⅲ)能否在EM上找一点N,使得ON⊥平面ABDE?若能,请指出点N的位置,并加以证明;若不能,请说明理由。
答案
∵F是AC的中点,O为CE的中点,
∴OF∥EA且OF=EA,
又BD∥AE且BD=AE,
∴OF∥DB,OF=DB,
∴四边形BDOF是平行四边形,
∴OD∥FB,
又∵FB平面ABC,OD平面ABC,
∴OD∥面ABC。
(Ⅱ)解:∵DB⊥BA,又面ABDE⊥面ABC,
面ABDE∩面ABC=AB,DB面ABDE,
∴DB⊥面ABC,
∵BD∥AE,
∴EA⊥面ABC,
如图,以C为原点,分别以CA,CB为x,y轴,
以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
∵AC=BC=4,
∴各点坐标为:C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,4,0),
D(0,4,2),E(4,0,4),
∴O(2,0,2),M(2,2,0),
设平面ODM的法向量n=(x,y,z),
则由且可得,
令x=2,得y=1,z=1,
∴n=(2,1,1),
设直线CD和平面ODM所成角为θ,
则,
∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为。
(Ⅲ)解:当N是EM中点时,ON⊥平面ABDE,
取EM中点N,连接ON,CM,
∵AC=BC,M为AB中点,
∴CM⊥AB,
又∵面ABDE⊥面ABC,面ABDE∩面ABC=AB, CM面ABC,
∴CM⊥平面ABDE,
∵N是EM中点,O为CE中点,
∴ON∥CM,
∴ON⊥平面ABDE.
核心考点
试题【如图,平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,四边形ABDE是直角梯形,BD∥AE,BD⊥BA,BD=AE=2,O,M分别为CE,A】;主要考察你对线线、线面平行等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)证明:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)求三棱锥E-ABC的体积V。
(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面体B-DEF的体积.
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