题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点F为A₁D的中点，
(Ⅰ)求证：A₁B∥平面AFC；
(Ⅱ)求证：平面A₁B₁CD⊥平面AFC。

答案

证明：(Ⅰ)连接BD交AC于点O，连接FO，则点O是BD的中点，
∵点F为A₁D的中点，∴A₁B∥FO，
又A₁B平面AFC，FO平面AFC，
∴A₁B∥平面AFC。 
(Ⅱ)在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接B₁D，则AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面B₁BD，∴AC⊥B₁D，
同理可得AD₁⊥B₁D，
直线AF即直线AD₁，故AF⊥B₁D，
又AC∩AF=A，
∴B₁D⊥平面AFC，
而B₁D平面A₁B₁CD，
∴平面A₁B₁CD⊥平面AFC。