题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是边长为6的正方形，
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC₁D；
（Ⅲ）求二面角C-AC₁-D的余弦值．

答案

（Ⅰ）证明：连结A₁C，与AC₁交于O点，
连结OD，因为O，D分别为AC₁和BC的中点，
所以OD∥A₁B，
又平面，平面，
所以∥平面．

（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC，
又平面ABC，
所以，
因为AB=AC，D为BC中点，
所以AD⊥BC，
又，
所以AD⊥平面，
又平面，所以AD⊥CE，
因为四边形为正方形，D，E分别为BC，BB₁的中点，
所以Rt△CBE≌Rt△C₁CD，，
所以，
所以CE，
又，
所以CE⊥平面．

（Ⅲ）解：如图，以B₁C₁的中点G为原点，建立空间直角坐标系，
则，
由（Ⅱ）知CE⊥平面AC₁D，
所以为平面AC₁D的一个法向量．
设为平面ACC₁的一个法向量，
，
由可得，
令x=1，则，
所以，
从而，
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．