题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O。将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=
3，得到三棱锥B-ACD，
（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值；
（Ⅲ）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4，并证明你的结论。

答案

（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点，
又点M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB，
因为平面ABD，平面ABD，
所以OM∥平面ABD。 （Ⅱ）解：由题意，OB=OD=3，
因为，所以∠BOD=90°，OB⊥OD，
又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
，
所以，
设平面ABD的法向量为（x，y，z），
则有即：，
令x=1，则，所以，
因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD，
平面BOD的法向量与AC平行，
所以平面BOD的法向量为，
，
因为二面角A-BD-O是锐角，
所以二面角A-BD-O的余弦值为。 （Ⅲ）解：因为N是线段BD上一个动点，设，，
则，
所以，
则，
由得，即，
解得或，
所以N点的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）。