题目

题型：广西自治区模拟题难度：来源：

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA₁=。
（1）求证：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求二面角D-A₁C-A的大小。

答案

解：（1）证明：连结AC₁交A₁C于点G，连结DG，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴AG=GC₁，
∵AD=DB，
∴DG//BC₁
∵DG平面A₁DC，BC₁平面A₁DC，
∴BC₁//平面A₁DC 。（2）过D作DE⊥AC交AC于E，
过点D作DF⊥A₁C交A₁C于F，连结EF。
∵平面ABC⊥面平ACC₁A₁，DE平面ABC
平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，
∴DE⊥平ACC₁A₁，
∴EF是DF在平面ACC₁A₁内的射影。
∴EF⊥A₁C，
∴∠DFE是二面角D-A₁C-A的平面角，
在直角三角形ADC中，
同理可求
∴sin∠DFE=
∴
∴。