题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点F为A₁D的中点，
(1)求证：A₁B∥平面AFC；
(2)求证：平面A₁B₁CD⊥平面AFC．

答案

证明：(1)连接BD交AC于点O，连接FO，则点O是BD的中点，
∵点F为A₁D的中点，
∴A₁B∥FO，
又A₁B平面AFC，FO平面AFC，
∴A₁B∥平面AFC；
(2)在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接B₁D，
∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面B₁BD，
∴AC⊥B₁D，
又∵CD⊥平面A₁ADD₁，AF平面A₁ADD，
∴CD⊥AF，
又∵AF⊥A₁D，
∴AF⊥平面A₁B₁CD，
而AF平面AFC，
∴平面A₁B₁CD⊥平面AFC。