题目

题型：安徽省高考真题难度：来源：

如图，在六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2。
（1）求证：A₁C₁与AC共面，B₁D₁与BD共面；
（2）求证：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；
（3）求二面角A-BB₁-C的大小（用反三角函数值表示）。

答案

解：（1）∵平面，平面
∴，
平面平面
于是，
设分别为的中点，连结，
有
∴，
于是
由，得，
故，与共面
过点作平面于点O，
则，连结，
于是，，
∴
∵，
∴
∵，
∴
所以点O在BD上，故与共面。（2）证明：∵平面，
∴，
又（正方形的对角线互相垂直），
与是平面内的两条相交直线，
∴平面
又平面过AC，
∴平面平面。
（3）∵直线是直线在平面上的射影，，
根据三垂线定理，有
过点A在平面内作于，连结，
则平面，
于是，
所以，是二面角的一个平面角
根据勾股定理，有
∵，有，，，
，
，
二面角的大小为。