题目

题型：浙江省会考题难度：来源：

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=AA₁=1，点E是棱AB的中点。
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁DE；
（Ⅱ）求异面直线B₁C与A₁E所成的角的大小。

答案

解：（Ⅰ）证明：在长方体中A₁B₁∥DC，A₁B₁=DC，
所以四边形A₁B₁CD是平行四边形，
从而B₁C∥A₁D，
又因为B₁C平面A₁DE，A₁D平面A₁DE，
所以B₁C∥平面A₁DE；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）得B₁C∥A₁D，
所以∠DA₁E（或其补角）是异面直线B₁C与A₁E 所成的角，
由已知得AD=AE=AA₁=1，且AD，AE，AA₁两两垂直，
所以A₁D=A₁E=DE=，
即△A₁DE是正三角形，
所以∠DA₁E=60°。