题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．

（1）若AB=AD=,直线PB与CD所成角为，
①求四棱锥P－ABCD的体积；
②求二面角P－CD－B的大小；
（2）若E为线段PC上一点，试确定E点的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并说明理由．

答案

（1）(1)V_P－ABCD=·PA·S_ABCD=a³．(2)二面角P－CD－B为45⁰．
(2) 当点E在线段PC上，且满足PE ：EC="2" ：1时，平面EBD垂直于平面ABCD．见解析。

解析

试题分析：
(1)∵AB∥CD，∴∠PBA是PB与CD所成角，
从而可以得到V_P－ABCD=·PA·S_ABCD=a³，又因为 ∵AB⊥AD，CD∥AB∴CD⊥AD
又PA⊥底面ABCD∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角，进而解得。
(2) 当点E在线段PC上，且满足PE ：EC="2" ：1时，平面EBD垂直于平面ABCD．
结合猜想，运用面面垂直判定定理得到。
（1）∵AB∥CD，∴∠PBA是PB与CD所成角，
即∠PBA=45⁰ ，∴在直角△PAB中，PA=AB=a 
(1)V_P－ABCD=·PA·S_ABCD=a³．
(2)∵AB⊥AD，CD∥AB
∴CD⊥AD
又PA⊥底面ABCD
∴PA⊥CD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD
∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角
在直角△PDA中,∵PA=AD=a
∴∠PDA=45⁰
即二面角P－CD－B为45⁰．
(2) 当点E在线段PC上，且满足PE ：EC="2" ：1时，平面EBD垂直于平面ABCD．
理由如下：连AC、BD交于O点，连EO.
由△AOB∽△COD，且CD=2AB
∴CO=2AO
∴PE:EC="AO:CO" =1:2
∴PA∥EO 
∵PA⊥底面ABCD，
∴EO⊥底面ABCD.
又EO在平面EBD内，
∴平面EBD垂直于平面ABCD  
点评：解决该试题的关键熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，结合有关定理进行证明即可，并且也有利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离等问题．