题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC=2a，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA、PC、PD，取PD的中点F，若有AF∥平面PEC.
（1）试确定E点位置；
（2）若异面直线PE、CD所成的角为60°，并且PA的长度大于a，
求证：平面PEC⊥平面AECD.

答案

(1) E为AB的中点(2)证明略

解析

（1） E为AB的中点.

证明如下:取PC的中点G，连接GE，GF.
由条件知GF∥CD，EA∥CD，∴GF∥EA.
则G、E、A、F四点共面.
∵AF∥平面PEC，
平面GEAF∩平面PEC=GE，
∴FA∥GE.
则四边形GEAF为平行四边形.
∴GF=AE，∵GF=CD，∴EA=CD=BA.
即E为AB的中点.
（2） ∵EA∥CD，PE、CD所成的角为60°，且PA的长度大于a.
∴∠PEA=120°.
∵PE=BE=EA=a，∴PA=a.
取CE的中点M，连接PM，AM，BM，在△AEM中，                 
AM==a.
∵PM=BM=a，∴PM²+AM²=PA².
则∠PMA=90°，PM⊥AM.
∵PM⊥EC，EC∩AM=M，
∴PM⊥平面AECD.
∵PM平面PEC，
∴平面PEC⊥平面AECD.