题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，
BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.
(1)求证:AE∥平面DCF;
(2)当AB的长为何值时,二面角A—EF—C的大小为60°?

答案

(1)证明略 (2) 当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°

解析

方法一 （1） 过点E作EG⊥CF交CF于G，

连接DG.可得四边形BCGE为矩形，
又四边形ABCD为矩形，
所以AD   EG，从而四边形ADGE为平行四边形，
故AE∥DG.
因为AE平面DCF，DG平面DCF，
所以AE∥平面DCF.
（2） 过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH.
由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，
得AB⊥平面BEFC，
从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A—EF—C的平面角.
在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2，
所以∠CFE=60°,FG=1,
又因为CE⊥EF,所以CF=4,
从而BE=CG=3.
于是BH=BE·sin∠BEH=.
因为AB=BH·tan∠AHB=×=，
所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.
方法二 如图所示,以点C为坐标原点,以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.

设AB=a，BE=b，CF=c，
则C（0，0，0），A（，0，a），
B（，0，0），E（，b，0），F（0，c，0）.
（1）=（0，b，-a），=（，0，0），=（0，b，0），
所以·=0，·=0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.
AE∩BE=E，所以CB⊥平面ABE.
因为CB⊥平面DCF，
所以平面ABE∥平面DCF，AE平面ABE.
故AE∥平面DCF.
（2）因为=（-，c-b，0），=（，b，0）.
·=0，||=2，
所以 解得
所以E（，3，0），F（0，4，0）.
设n=(1,y,z)与平面AEF垂直，
则n·=0，n·=0，解得n=（1,,）.
又因为BA⊥平面BEFC，=（0，0，a），
所以|cos〈n, 〉|=
解得a=.
所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.