题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分16分）已知在棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形的中心，点分别在直线和上．

（1）若分别为棱，的中点，求直线与所成角的余弦值；
（2）若直线与直线垂直相交，求此时线段的长；
（3）在（2）的条件下，求直线与所确定的平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

答案

（1）
（2）
（3）

解析

（1）以D为空间直角坐标系的原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，……3分

设与所成的角为，
则
直线与所成角的余弦值为．……………………………………… 5分
（2）设点，则=，=，=，
      即 
……⑴……………………………………………………………………8分
设直线与直线确定平面，其法向量=，
即，令，得=
设直线与直线确定平面，其法向量=，
即，令，得=
与直线相交，∥ =，……………⑵…………11分
由⑴⑵联立方程组   解得，，
，… 13分
（本小问也可落实三条直线共面的条件得到点坐标）
（3）由（2）得=，平面的法向量=，=
直线与所确定的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
……………………………………………………………………………………… 16分