题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
如图，正四棱柱中，,点在上且.

(1) 证明：平面;
(2) 求二面角的余弦值.

答案

解法一：
依题设知，．
（Ⅰ）连结交于点，则．由三垂线定理知，．…………2分
在平面内，连结交于点，
由于，故，，与互余．
于是．…………5分
与平面内两条相交直线都垂直，所以平面．…………6分
（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，
故是二面角的平面角．…………8分
，，．
，．
又，．
．…………12分
∴ …………13分
所以二面角的余弦值为． …………14分．
解法二：
以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．
依题设，．………2分
，．  ………4分
（Ⅰ）因为，，故，．
又，所以平面．  ………7分
（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则
，．故，．………10分
令，则，，．………11分
等于二面角的平面角，
．………13分
所以二面角的余弦值为． …………14分

解析

略