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题目
题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,底面
分别在棱上,且  
(1)求证:平面
(2)当的中点时,求与平面所成的角的正弦值;
(3)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.
答案

(1)略
(2)
(3)存在点E使得二面角是直二面角
解析
解法1:
(1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点,DE//BC,

又由(1)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴
∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,
(3)∵AE//BC,又由(1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时
故存在点E使得二面角是直二面角.
解法2:如图,以A为原点建立空间直角坐标系
,由已知可得
.
(1)∵
,∴BC⊥AP.
又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,

∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,

.
与平面所成的角的正弦值为.
核心考点
试题【(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且  (1)求证:平面;(2)当为的中点时,求与平面所成的角的正弦值;(3)是否存在点使得二面角为直】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(13分)在多面体ABCDEFG中,底面ABCD是等腰梯形,,,H是棱EF的中点
(1)证明:平面平面CDE;
(2)求平面FGB与底面ABCD所成锐二面角的正切值。
 
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如图,△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在
的平面β互相垂直,且,AD=4,
BC=8,AB=6,若
则点P在平面内的轨迹是          (      )
A.圆的一部分B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

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(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3,D为AC的中点.
(Ⅰ)求证:AB1//面BDC1
  (Ⅱ)求二面角C1—BD—C的余弦值;
(Ⅲ)在侧棱AA­1上是否存在点P,使得
CP⊥面BDC1?并证明你的结论.



 
  
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在矩形ABCD中,AB = 4,BC = 3,沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B,并且D点在平面ABC内的射影落在AB上.若在四面体D-ABC内有一球,当球的体积最大时,球的半径是         .
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(本小题满分12分)
如左图示,在四棱锥A-BHCD中,AH⊥面BHCD,此棱锥的三视图如下:
(1)求二面角B-AC-D的大小;
(2)在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成45°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由。

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