题目

题型：不详难度：来源：

（本小题共13分）
已知正方形ABCD的边长为1，．将正方形ABCD沿对角线折起，使，得到三棱锥A—BCD，如图所示．
（I）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；
（II）求证：；
（III）求二面角的余弦值．

答案

（1）略
（2）略
（3）

解析

解：(I)在正方形ABCD中，是对角线的交点，
O为BD的中点，                                             ---------------------1分
又M为AB的中点，
 OM∥AD.                                                  ---------------------2分
又AD平面ACD，OM平面ACD，                             ---------------------3分
OM∥平面ACD.                                             ---------------------4分
（II）证明：在中，，，              ---------------------5分
，.                         ---------------------6分
又 是正方形ABCD的对角线，
，                                               --------------------7分
又.                           --------------------8分
（III）由（II）知，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立
空间直角坐标系.
则，               
是平面的一个法向量.                     --------------------9分
，，                      
设平面的法向量,则，.
即，                              --------------------11分
所以且令则，，解得.
--------------------12分
从而，二面角的余弦值为..