题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知直角梯形中(如图1），，为的中点，
将沿折起，使面面（如图2），点在线段上，.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在四棱锥的棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由.

答案

(1)略
(2)
(3) 存在的中点，使得平面. 

解析

解：（1）依题意知：.
又面面，面面，面，
所以面.                                       …………2分
又因为.
以为原点，建立如图所示的坐标系，                          …………3分
则.            …………4分
由于，
所以,
即.                                              …………5分
所以，.
所以.       …………6分
（2）易知为平面的法向量. …………7分
设平面的法向量为，
则即，…………8分
令 则，即.                     …………9分
二面角的平面角为，则.…………10分
（3）方法一：存在的中点，使得：平面，证明如下：
连接，交于，取中点，连.
在△中，分别为中点，则.        …………11分
在△中，分别为中点，则.        …………12分
所以平面平面.
又平面，
所以平面.                                       …………14分
方法二：假设在四棱锥的棱上存在一点，使得平面，不妨设：，                                      …………11分
由，得.                   …………12分
由（2）知平面的法向量，由得.  ……13分
故存在的中点，使得平面.                   …………14分